Top.Mail.Ru

Примеры арифметических действий над обыкновенными дробями

В алгебре необходимо производить расчеты некоторых величин. Они не всегда представляются в виде целых значений, что существенно усложняет вычисления и способствует увеличению количества ошибок. Очень важно знать правила выполнения действий с обыкновенными дробями, примеры которых рассматриваются только после изучения теории. Однако невозможно перейти к практике, не зная базовых понятий.

Действия с дробями примеры

Общие сведения

Начинать изучение операций над дробями обыкновенного вида необходимо с определений. Обыкновенным называется дробное число, которое состоит из числителя и знаменателя. Первый находится всегда вверху, а второй — внизу. Их разделяет символ черты «/». Дробное выражение имеет вид: v/w. Они классифицируются на 3 типа:

Действия с обыкновенными дробями примеры

  1. Правильная — дробь стандартного вида, для которой выполняется соотношение v<w, т. е. числитель меньше знаменателя.
  2. Неправильная — дробное выражение, у которого v>m.
  3. Смешанное число — значение, состоящее из целой и дробной частей. Его принято записывать в следующем виде: 4 2/5.

Последний вид получается при преобразовании неправильной дроби. Например, 22/5=4 2/5. Как правило, арифметические действия над этими тремя числовыми величинами изучаются в начальных классах. Однако не всегда ученику даются специальные алгоритмы, поскольку они не предусмотрены школьной программой.

Операции над дробями

Как и с целыми числовыми значениями, с дробями обыкновенного вида можно осуществлять математические операции. Последние выполняются немного по другим методикам. К действиям над ними относятся:

Действия с обыкновенными дробями

  1. Приведение к общему знаменателю.
  2. Конвертация в смешанное число и обратно.
  3. Сравнение.
  4. Сложение.
  5. Разность.
  6. Умножение.
  7. Деление.
  8. Сокращение.
  9. Bозведение в степень.
  10. Извлечение корня.

Первый и второй пункты являются базовыми, поскольку на них основываются все остальные арифметические операции и правила действий с обыкновенными дробями. Необходимо разобрать каждую из них более подробно с методиками решения примеров.

Один знаменатель

Приведение к общему знаменателю двух величин s/t и v/w рекомендуется выполнять при следующих математических операциях: сравнения, сложения и вычитания. Однако в некоторых случаях для первой можно этого и не делать. Математики разработали специальный алгоритм. Однако он зависит от конкретных случаев, которых всего 3:

Действия с обыкновенными дробями решения

  1. Знаменатель одной дроби делится на величину другого, т. е. t/w=N, где N — целое число.
  2. Если t и w — числа простого типа, общий знаменатель получается при их перемножении.
  3. Когда t и w не являются взаимными множителями (деление происходит не нацело) и прoстыми числами, а содержат общие множители, нужно найти наименьшее oбщее кратное. Последнее и будет искомым одним знаменателем.

Во всех трех случаях множители записываются над числителями. Алгоритм определения в первом случае имеет вид:

  1. Написать обе дроби.
  2. Разделить один знаменатель на другой, записав над числителем делителя соответствующий коэффициент.
  3. Записать один знаменатель и выполнить арифметические операции над числителями (сложить, сравнить или отнять).

Реализацию методики необходимо проверить на практическом примере, в котором требуется привести дроби 4/5 и 1/25 к одному знаменателю для дальнейших операций. Решение задачи имеет такой вид:

  1. 4/5 и 1/25.
  2. (4*5)/25=20/25 и 1/25.

Следующую методику необходимо применять, когда знаменатели являются простыми числами. Она называется «крест-накрест». Алгоритм выглядит следующим образом:

Действия с обыкновенными дробями правила

  1. Написать дробные значения: 3/5 и 5/7.
  2. Общий знаменатель: 5*7=35.
  3. Операции над числителями: (3*7)/35 и (5*3)/35.
  4. Запись результата: 21/35 и 15/35.

В третьем случае для вычисления общего знаменателя двух дробных выражений 8/22 и 8/12 необходимо искать наименьшее общее кратное (НОК). Оно находится по следующему алгоритму для чисел 22 и 12:

  1. Разложить на множители: 22=2*11 и 12=4*3=2*2*3.
  2. Взять за основу первую величину и все ее элементы умножить на компоненты второй, которые в ней отсутствуют, т. е. НОК (22;12)=2*11*2*3=132.

Далее для двух дробей нужно определить коэффициенты при числителях и произвести арифметические преобразования следующим образом: [8*132/22]/132=48/132 и [8*132/12]/132=88/132.

Конвертация в смешанное число

Иногда дробное значение необходимо представить в виде смешанного числа или конвертировать его в неправильную дробь. В первом случае необходимо использовать несложную методику:

Все действия с дробями

  1. Написать число: 4 2/3.
  2. Умножить знаменатель на целую часть, и прибавить к ней величину, находящуюся в числителе: (3*4+2)/3.
  3. Выполнить математические операции, записав результат: 14/3.

Обратная операция реализовывается по определенному алгоритму. Он имеет следующий вид:

  1. Разделить числитель неправильной дроби на знаменатель, выделив целую часть: 14/3=4.
  2. Вычислить числитель по следующему соотношению: v=14−3*4=2.
  3. Записать результат: 4 2/3.

После расчетов математики рекомендуют преобразовывать неправильную дробь в смешанную, поскольку это считается «правилом хорошего тона». Далее можно перейти к операциям сравнения, суммы и разности двух дробных величин.

Сравнение, сложение и вычитание

Для сравнения двух обыкновенных дробей s/t и v/w необходимо применить алгоритм, зависящий от конкретного вида выражений. Для них применимы определенные правила:

Действия с дробями примеры

  1. Если s=v и t>w, то s/t>v/w.
  2. Когда s=v и t<w, тогда s/t<v/w.
  3. При одинаковых знаменателях (t=w) больше та дробь, где числитель больше.

Если невозможно применить какое-либо из трех правил, оба выражения следует привести к общему знаменателю для выполнения арифметических действий сложения и вычитания.

Для закрепления материала следует разобрать задачу, в которой нужно сравнить дроби 5/6 и 7/8, сложить их и вычесть из первой вторую. Решается задание по такому алгоритму:

  1. Записываются величины: 5/6 и 7/8.
  2. Определяется единый знаменатель и учитываются коэффициенты числителей: 20/24 и 21/24.
  3. Выполняется операция сравнения: 20/24<21/24, т. к. 24=24 и 20<21.
  4. Сложение: (20+21)/24=41/24=1 17/24.
  5. Вычитание: (20−21)/24=-(1/24).

Операция на втором шаге методики была выполнена при помощи нахождения НОК. В третьем пункте при сравнении необходимо руководствоваться правилом определения большего или меньшего значения. Операции суммы и разности дробных величин с одинаковыми знаменателями выполняются посредством сложения или вычитания числителей.

Умножение и деление

Умножение и деление — стандартные действия с обыкновенными дробями. Примером является произведение двух величин, т. е. (5/7)*(6/8). В этом случае особых преобразований выполнять нет необходимости, достаточно перемножить числители и знаменатели между собой. Однако бывают значения, представленные в виде смешанных чисел. При этом операция осуществляется по следующему алгоритму:

Примеры с обыкновенными дробями

  1. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь при необходимости: 2 1/3=7/3 и 5 ¼=21/4.
  2. Перемножить числители и знаменатели: (7*21)/(3*4)=147/12.
  3. Записать результат в смешанном виде: 12 3/12.

Алгоритм деления похож на методику нахождения произведения, но при этом необходимо переворачивать вторую дробь. Он имеет вид:

  1. Преобразовать искомые значения в неправильные дроби: 7/3 и 21/4.
  2. Операция деления выполняется, как и умножение, но вторую величину следует «перевернуть», т. е. (7/3):(21/4)=(7/3)*(4/21)=28/63.
  3. Записать результат: 28/63.

Следует обратить внимание, что очень важно при делении одной дроби на другую перевернуть последнюю, а знак деления «:» заменить произведением.

Степень, корень и сокращение

Выражение (4)^(½) эквивалентно квадратному корню из 4. Если использовать калькулятор онлайн с корнями и дробями, результаты будут равны. Алгоритм имеет следующий вид:

Все действия с обыкновенными дробями

  1. Написать: 4/7.
  2. Взять ее в скобки, указав показатель степени: (4/7)^2.
  3. Возвести числитель и знаменатель в квадрат или другую степень, указанную в условии задачи: 42/72 .
  4. Записать результат: 16/49.

Следующая очень важная операция, позволяющая значительно упрощать дробные выражения — сокращение. Она происходит благодаря разложению числителя и знаменателя на общие множители. Специалисты рекомендуют разобрать правила и примеры действия с дробями, используя эту операцию. Последняя выполняется по такому алгоритму:

  1. Перевести значение в неправильное дробное выражение (при необходимости): 4 3/6=27/6.
  2. Разложить на множители числитель и знаменатель: (3*3*3)/(2*3).
  3. Найти общий множитель и сократить его, записав результат: (3*3)/2=9/2=4 ½.

Сокращение дроби необходимо выполнять при выполнении любой операции. Во время написания контрольных и других зачетов по любым дисциплинам с физико-математическим уклоном неупрощенное дробное выражение является ошибкой.

Таким образом, для выполнения различных действий с дробями обыкновенного вида рекомендуется изучить основные правила, а также их применение на практике.

Нет комментариев

Добавить комментарий

Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Это интересно
Adblock
detector